Пример МоделРиск · Корпоративные финансы
VaR и Expected Shortfall портфеля
Сколько может потерять резервный портфель в плохой год? Стоимость под риском (VaR) и ожидаемые потери сверх VaR (Expected Shortfall) при нормальных и тяжелых хвостах.
Из сохраненного прогона модели
Сколько портфель может потерять за год?
Убыток за год (млн долл.). Те же доходности, волатильности и корреляции; разные хвосты.
| Показатель | Нормальная модель | Модель с тяжелыми хвостами | Разница |
|---|---|---|---|
| Средний убыток (отрицательный = ожидаемый доход) | −27,2 | −27,1 | |
| VaR, 95% | 45,8 | 42,1 | −8% |
| VaR, 99% | 79,0 | 88,6 | +12% |
| Expected Shortfall, 97,5% | 80,2 | 92,5 | +15% |
| Expected Shortfall, 99% | 97,3 | 121,9 | +25% |
| Вероятность крупного убытка (лист «Исходные данные») | 0,3% | 0,7% | +109% |
| В пределах лимита VaR 95%? (лист «Исходные данные») | ✔ в пределах | ✔ в пределах |
| Показатель | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Сумма вложений | млн долл. | 500 |
| Лимит годового VaR 95% | млн долл. | 50 |
S-кривая (накопленная вероятность) нормальной модели и модели с тяжелыми хвостами по сохраненному моделированию.
Вопрос бизнеса
У компании резерв 500 млн долл.: 40% в мировых акциях, 30% в государственных облигациях, 20% в корпоративных облигациях и 10% в акциях компаний недвижимости. Политика рисков ограничивает годовой VaR 95%. Стандартный способ его измерить считает доходности нормальными и связывает их корреляциями.
История рынков говорит другое: экстремальные доходности случаются чаще, чем допускает нормальное распределение, а в кризис активы падают вместе. Модель измеряет один и тот же портфель дважды — стандартным способом и с доходностями с тяжелыми хвостами, связанными копулой Стьюдента, которая делает совместные экстремумы вероятнее, — при одинаковых ожидаемых доходностях, волатильностях и корреляциях, и сравнивает их хвосты.
- Для кого
- Казначействам и инвестиционным комитетам, управляющим резервами компаний, пенсионными и страховыми портфелями; риск-менеджерам.
- Основные результаты
- Убыток за год: VaR 95% и 99%, Expected Shortfall 97,5% и 99% и вероятность крупного убытка в нормальной модели и в модели с тяжелыми хвостами · укладывается ли VaR 95% каждой модели в лимит политики · VaR от 90% до 99,9% · что определяет убытки.
Как устроена модель
Дальше три листа, слева направо. Каждый передает данные следующему.
Лист «Исходные данные»
Сумма вложений и веса. Ожидаемая годовая доходность и волатильность каждого класса активов; шесть корреляций; число степеней свободы для доходностей с тяжелыми хвостами и для копулы Стьюдента.
Лист «Портфель»
Нормальная модель берет четыре коррелированных значения U из VoseCopulaMultiNormal и превращает их в нормальные доходности. Модель с тяжелыми хвостами берет их из VoseCopulaMultiT и превращает в доходности Стьюдента (VoseStudent3) с теми же средним и волатильностью. Убыток — падение стоимости портфеля.
Лист «Результаты»
VaR (процентиль убытка) и Expected Shortfall (средний убыток сверх него, VoseSimCVARp) в обеих моделях. Вероятность потерять больше порога; ключевые факторы убытка.
Приемы МоделРиск
Похожие модели
- Задача
- Используется
Результаты подробно
VaR для каждого уровня надежности
Убыток, который превышается лишь в 10%, 5%, … лет (млн долл.): чем дальше в хвост, тем сильнее расходятся модели.
Гистограмма модели с тяжелыми хвостами по сохраненному моделированию.
| Надежность | Нормальная модель | Модель с тяжелыми хвостами | Разница |
|---|---|---|---|
| 90% | 29,8 | 23,2 | −22% |
| 95% | 45,8 | 42,1 | −8% |
| 97,5% | 60,6 | 61,4 | +1% |
| 99% | 79,0 | 88,6 | +12% |
| 99,5% | 90,1 | 110,2 | +22% |
| 99,9% | 122,1 | 165,6 | +36% |
Что определяет убытки
Наименьший и наибольший средний убыток по десяти равным группам доходности каждого класса активов (VoseSimSensitivityMean) относительно общего среднего.
Диаграмма «торнадо»: исходные величины по тому, насколько сильно среднее значение результата меняется в пределах диапазона каждой из них.
Рейтинг в виде таблицы 4 величины
| Исходная величина (по степени влияния) | Наименьшее среднее | Наибольшее среднее | Место |
|---|---|---|---|
| Доходность мировых акций | −101,7 | 46,4 | 1 |
| Доходность корпоративных облигаций | −91,1 | 36,0 | 2 |
| Доходность акций компаний недвижимости | −91,4 | 33,5 | 3 |
| Доходность государственных облигаций | −39,1 | −16,7 | 4 |
Как читать результаты
- Обе модели дают портфелю одинаковые ожидаемую доходность, волатильность и корреляции. Они различаются только хвостами: как часто случаются экстремальные доходности и страдают ли от них активы одновременно.
- При 95% модели согласны — VaR модели с тяжелыми хвостами даже немного ниже, — и обе укладываются в лимит политики. Дальше они расходятся: VaR 99% и особенно Expected Shortfall модели с тяжелыми хвостами гораздо больше. Лимит, заданный только по VaR 95%, пропускает обе модели и разницы не замечает.
- Expected Shortfall усредняет убытки сверх VaR, поэтому показывает, насколько плохи плохие годы, а не только где они начинаются. По этой причине банковское регулирование перешло от VaR 99% к Expected Shortfall 97,5%.
- Убытки определяют акции, вместе с ними падают недвижимость и корпоративные облигации; государственные облигации, которые обычно движутся в другую сторону, их смягчают.
Посмотрите, как меняются результаты. Откройте модель, измените исходные данные на листе «Исходные данные» и запустите моделирование: все таблицы и графики с этой страницы пересчитаются в Excel.
Исходные данные и допущения
Все допущения модели, их неопределенность и источник. Цифры условные.
Портфель 2 величины
Сколько вложено и лимит политики рисков.
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Сумма вложений | млн долл. | 500 |
| Лимит годового VaR 95%Политика рисков: 10% резерва. | млн долл. | 50 |
Хвосты 3 величины
Что делает вторую модель моделью с тяжелыми хвостами.
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Число степеней свободы доходностейМеньше = тяжелее хвосты; 5 соответствует месячным данным по акциям. | 5 | |
| Число степеней свободы копулы СтьюдентаМеньше = больше совместных экстремумов. | 4 | |
| Крупный убыток20% портфеля. | млн долл. | 100 |
Классы активов 5 величин
Вес, ожидаемая доходность и волатильность за год — одинаковые в обеих моделях.
| Класс активов | Доля в портфеле | Неопределенность | Ожидаемая доходность за год | Волатильность за год |
|---|---|---|---|---|
| Мировые акции | 40% | Константа | 7,0% | 16,0% |
| Государственные облигации | 30% | Константа | 3,5% | 6,0% |
| Корпоративные облигации | 20% | Константа | 4,5% | 8,0% |
| Акции компаний недвижимости | 10% | Константа | 6,0% | 18,0% |
| Итого | 100% | в сумме должно быть 100% |
Корреляции 4 величины
Между годовыми доходностями — одинаковые в обеих моделях. Заполните желтые ячейки над диагональю; ячейки под ней повторяют их.
| Акции | Гос. облигации | Корп. облигации | Недвижимость | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Мировые акции | 1,00 | −0,20 | 0,60 | 0,70 | Акции и государственные облигации обычно движутся в разные стороны. |
| Государственные облигации | −0,20 | 1,00 | 0,40 | 0,00 | |
| Корпоративные облигации | 0,60 | 0,40 | 1,00 | 0,50 | |
| Акции компаний недвижимости | 0,70 | 0,00 | 0,50 | 1,00 |
Единицы и обозначения
- Деньги
- Миллионы долларов США (млн долл.); потери положительны.
- Стоимость под риском (VaR)
- Убыток, который превышается с указанной малой вероятностью за год (VaR 99% = 99-й процентиль убытка).
- Ожидаемые потери сверх VaR
- Средний убыток в худших случаях сверх VaR (ES 97,5% = среднее по худшим 2,5%).
- Горизонт
- Один год; без ребалансировки в течение года.
Основные допущения и ограничения
- Доходности
- Доходность каждого актива имеет указанные среднее и волатильность в обеих моделях; различаются только хвосты.
- Зависимость
- Одна и та же корреляционная матрица в обеих моделях; копула Стьюдента добавляет хвостовую зависимость.
- Данные
- Портфель и все цифры придуманы для этого примера.
Как пользоваться моделью
- Введите веса своего портфеля, допущения о доходности и волатильности и корреляции.
- Задайте параметры хвостов по рыночным данным: меньше степеней свободы — тяжелее хвосты.
- Запустите моделирование на ленте МоделРиск (уже заданы 10 000 итераций и фиксированное начальное число генератора).
- Устанавливайте лимиты не только на VaR, но и на Expected Shortfall и проверяйте, как веса меняют оба показателя.
Диаграмма «торнадо» заполняется после моделирования.
Функции МоделРиск в модели
- VoseEigenValues
- Собственные значения корреляционной матрицы: у корректной матрицы все больше 0.
- VoseCopulaMultiNormal, VoseCopulaMultiT
- Четыре коррелированных значения U в каждой итерации: нормальная копула и копула Стьюдента (хвостовая зависимость).
- VoseNormal, VoseStudent3
- Доходности активов из значений U: нормальные и Стьюдента с теми же средним и стандартным отклонением.
- VoseSimCVARp
- Expected Shortfall: среднее убытка сверх процентиля.
- VoseInput, VoseOutput, VoseSimPercentile, VoseSimMean
- Факторы, выходы и статистика на листе «Результаты».
- VoseSimSensitivityMean
- Диаграмма «торнадо»: все VoseInput ранжированы по тому, насколько меняется средний убыток на их диапазоне.
Что почитать
- Анализ чувствительности: диаграмма «торнадо» по шагам (статья)
- McNeil, A. J., Frey, R. & Embrechts, P. (2015). Quantitative Risk Management, revised edition. Princeton University Press.
- Корреляция рисков: зачем и как учитывать в модели (статья)
Скачайте модель и запустите ее сами. Она открывается в Excel с МоделРиск. В пробной версии работают все примеры моделей.
Учебный пример: цифры придуманы для обучения и не описывают реальную компанию, проект или актив.
Другие примеры
- CF-05 · Корпоративные финансы★★★★★ Валютный и процентный риск Сколько денежного потока могут стоить колебания курсов и ставок и сколько экономит хеджирование половины позиций? Три коррелированные рыночные цены, смоделированные вместе (VoseTimeMultiGBM) на двенадцать кварталов; политика хеджирования.
- CF-07 · Корпоративные финансы★★★★★ Потери кредитного портфеля Сколько может потерять кредитный портфель в плохой год? Дефолты в пяти рейтингах, определяемые одним экономическим фактором (Васичек), и случайные потери по каждому дефолту.
- CF-03 · Корпоративные финансы★★★★★ Финансовый прогноз по трем формам и риск финансирования Удержится ли компания в рамках банковских ковенантов? Пять лет связанных отчета о прибылях и убытках, баланса и денежного потока с возобновляемой линией, дивидендами и проверкой ковенантов в каждой итерации.