Модели риска строят из десятков неопределенных величин. По умолчанию их считают независимыми: случайное значение цены металла никак не связано со случайным значением цены бетона. Но в реальности многие величины связаны общими причинами — инфляцией, курсом, загрузкой подрядчиков, погодой. Если связь не учесть, модель покажет слишком оптимистичный разброс.
Пример: стоимость материалов
Три группы материалов для строительства оценены экспертами (млн руб.):
| Группа | Минимум | Наиболее вероятно | Максимум |
|---|---|---|---|
| Металлоконструкции | 200 | 220 | 290 |
| Бетон и арматура | 150 | 160 | 210 |
| Кабель и трубы | 90 | 100 | 135 |
| Итого по наиболее вероятным | 480 |
Цены всех трех групп зависят от общих факторов: цены металла, инфляции в строительстве, курса. Сравним два варианта модели: цены независимы и цены коррелированы с коэффициентом 0,8.
| Показатель, млн руб. | Независимые цены | Корреляция 0,8 |
|---|---|---|
| Среднее | 499 | 499 |
| P10 | 474 | 461 |
| P90 | 526 | 542 |
| Ширина диапазона P10–P90 | 53 | 82 |
| Вероятность уложиться в 480 | 18 % | 32 % |
Среднее одинаково, но с учетом корреляции диапазон шире более чем в полтора раза. Резерв, рассчитанный по модели без корреляции до уровня P90, окажется меньше нужного на 16 млн руб. — и это всего три статьи. В смете из десятков статей с общими факторами разница будет кратной.
Когда корреляция важна
- Общие факторы стоимости: цены материалов одного типа, ставки подрядчиков в одном регионе, импортное оборудование и курс.
- Однотипные работы: если подрядчик недооценил трудоемкость одной работы, скорее всего, он недооценил и похожие.
- Финансовые показатели: цена продукции и курс, цена сырья и цена продукции, объем продаж и цена.
- Отрицательные связи: для экспортера падение цены продукции часто сопровождается ослаблением рубля, что частично компенсирует потери. Пример — в статье «Cash Flow at Risk».
Как оценить корреляцию
- По данным. Если есть ряды наблюдений (цены, индексы), рассчитайте коэффициент корреляции изменений, а не самих уровней: у двух растущих рядов уровни всегда коррелированы.
- Экспертно. Спросите, насколько сильно связаны величины, и переведите ответ в число: сильная связь — 0,7–0,9, средняя — 0,4–0,6, слабая — 0,1–0,3.
- Через общую причину. Часто лучше не задавать коэффициент, а включить в модель сам общий фактор — например, индекс цен, который умножает все статьи. Так связь получается естественной и понятной. Этот подход использован в статье «Оценка рисков сметы».
Если коэффициентов много, проверьте корреляционную матрицу на согласованность: например, нельзя задать сильную положительную связь A с B и B с C и при этом сильную отрицательную A с C.
Как задать корреляцию
В Excel без надстроек для нескольких величин с одинаковой корреляцией ρ можно использовать общий случайный фактор. Для каждой итерации генерируется общее нормальное случайное число Z₀ и собственные Zᵢ для каждой величины:
Zi = КОРЕНЬ(ρ)*Z0 + КОРЕНЬ(1-ρ)*НОРМ.СТ.ОБР(СЛЧИС())
Ui = НОРМ.СТ.РАСП(Zi; ИСТИНА)
Значение = БЕТА.ОБР(Ui; α; β; Мин; Макс)
где Z0 = НОРМ.СТ.ОБР(СЛЧИС()). Так устроен файл к статье. Для разных коэффициентов нужна матрица и разложение Холецкого, что в формулах Excel быстро становится громоздким.
В МоделРиск корреляция задается копулой: функция VoseCopulaMultiNormal по корреляционной матрице возвращает массив согласованных случайных чисел, которые передаются в распределения последним аргументом, например =VoseModPERT(200;220;290;4;E2). Кроме нормальной копулы доступны другие, в том числе с усилением связи в хвостах.
В Тамаре для календарных планов используется интуитивный метод корреляции без коэффициентов корреляции: планировщику не нужно подбирать матрицу чисел.
Файлы к статье
Частые вопросы
Как корреляция влияет на результат симуляции?
Положительная корреляция между слагаемыми расширяет диапазон суммы: неблагоприятные значения чаще совпадают. Отрицательная — сужает: отклонения компенсируют друг друга. Среднее значение суммы от корреляции не зависит, меняются только разброс и процентили.
Как оценить корреляцию, если нет данных?
Экспертно, по шкале: сильная связь — около 0,8, средняя — около 0,5, слабая — около 0,2. Еще лучше — найти общую причину связи (индекс цен, курс валюты, погода) и явно включить ее в модель как отдельный фактор.
Чем ранговая корреляция отличается от обычной?
Обычный коэффициент Пирсона измеряет линейную связь и чувствителен к выбросам. Ранговый коэффициент Спирмена измеряет, насколько согласован порядок значений, и не зависит от формы распределений. В моделях Монте-Карло чаще задают ранговую корреляцию или копулы.
Что такое копула?
Копула — способ задать структуру зависимости между величинами отдельно от их распределений. Гауссова копула соответствует привычной корреляционной матрице; другие копулы позволяют, например, усилить связь в хвостах, когда в кризис все показатели падают одновременно.
МоделРиск
МоделРиск — надстройка Excel для анализа рисков методом Монте-Карло. Пробная версия на 30 дней без ограничений.