Пример МоделРиск · Страхование
Совокупные страховые выплаты: частота × тяжесть
Во что обойдутся выплаты за год? Сумма случайного числа случайных убытков — и ошибка, которой нужно избежать.
Из сохраненного прогона модели
Во что обойдутся выплаты за год?
Совокупные выплаты (млн долл.) каждым методом в сравнении с премией.
| Метод | Среднее | Станд. откл. | 95-й проц. | 99,5-й проц. 1 из 200 | Выше премии |
|---|---|---|---|---|---|
| Сумма всех убытков (VoseAggregateMC) | 5,99 | 0,75 | 7,30 | 8,16 | 3,0% |
| Сумма всех убытков (VoseAggregateFFT) | 6,02 | 0,75 | 7,30 | 8,13 | 2,9% |
| Число убытков × размер одного убытка | 5,79 | 12,40 | 21,80 | 72,36 | 19,3% |
| Ожидаемое число убытков × средний убыток (без неопределенности) | 6,00 |
| Показатель | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Точное среднее (VoseAggregateMoments) | млн долл. | 6,000 |
| Точное стандартное отклонение | млн долл. | 0,750 |
| Премия | млн долл. | 7,50 |
| Капитал сверх премии, 1 из 200 (сумма всех убытков) | млн долл. | 0,66 |
S-кривые (интегральная вероятность) выплат по сумме всех убытков, по FFT и по схеме «число × один размер» по сохраненным результатам моделирования.
Гистограмма суммы всех убытков по сохраненным результатам моделирования.
Вопрос бизнеса
Страховщик автомобилей ожидает около 1200 убытков в следующем году. Число убытков меняется от года к году сильнее, чем дает чистая случайность, — суровая зима или дождливое лето сдвигают их все — примерно на 10%. Размеры убытков очень неравномерны: в основном это мелкий ремонт, иногда тяжелые травмы, поэтому при среднем 5000 долл. стандартное отклонение составляет 12 000 долл.
Совокупная стоимость убытков за год — сумма случайного числа случайных величин. Соблазнительное упрощение в электронной таблице умножает случайное число убытков на один случайный размер убытка — как будто все убытки за год одного размера. Модель правильно рассчитывает совокупную сумму двумя способами, а также упрощенным способом и сравнивает их с премией.
- Для кого
- Актуариям по тарификации и резервированию, андеррайтерам, финансовым службам; подходит как первая модель для страхования.
- Основные результаты
- Совокупные выплаты за год: среднее, процентили до 99,5% и вероятность превысить премию — агрегированным моделированием, методом FFT и упрощенным способом · для сравнения — точные среднее и стандартное отклонение.
Как устроена модель
Дальше три листа, слева направо. Каждый передает данные следующему.
Лист «Исходные данные»
Ожидаемое число убытков и его изменчивость от года к году; среднее и стандартное отклонение одного убытка; премия.
Лист «Убытки»
Частота — объект Пойа (пуассоновское распределение, интенсивность которого распределена по гамма-распределению), тяжесть — логнормальный объект. VoseAggregateMC складывает смоделированный размер каждого убытка; VoseAggregateFFT делает выборку из того же совокупного распределения, рассчитанного быстрым преобразованием Фурье. Упрощенный способ умножает одно число убытков на один размер убытка.
Лист «Результаты»
Среднее, 5-й, 95-й и 99,5-й процентили и вероятность, что выплаты превысят премию, для каждого метода в сравнении с точными средним и стандартным отклонением.
Приемы МоделРиск
Похожие модели
- Задача
- Используется
Результаты подробно
Почему упрощение неверно
Среднее то же, диапазон совсем другой.
| Показатель | Ед. изм. | 10-й проц. | Медиана | 90-й проц. | Среднее |
|---|---|---|---|---|---|
| Сумма всех убытков (VoseAggregateMC) | млн долл. | 5,05 | 5,96 | 6,97 | 5,99 |
| Число убытков × размер одного убытка | млн долл. | 0,39 | 2,28 | 13,11 | 5,79 |
Как читать результаты
- Сумма всех убытков дает узкое распределение с небольшой правосторонней асимметрией: при большом числе убытков крупные и мелкие в значительной мере компенсируют друг друга. Его среднее и стандартное отклонение совпадают с точными моментами.
- Метод FFT рассчитывает то же распределение, не моделируя каждый убыток, и совпадает с суммой всех убытков — но только при достаточно мелкой сетке. При плотности МоделРиск по умолчанию среднее FFT здесь оказалось бы примерно в три раза завышенным. Всегда сравнивайте среднее FFT с точным средним (лист «Убытки» это делает) и повышайте плотность, пока они не совпадут.
- Если умножить случайное число убытков на один случайный размер убытка, среднее получится правильным, но диапазон — во много раз шире: предполагается, что все убытки за год одного размера, поэтому одна крупная выборка делает катастрофическим весь год. Вероятность превысить премию и нужный резерв сильно завышаются.
- Детерминированная оценка — ожидаемое число убытков × средний убыток — дает правильное среднее, но никакого диапазона: она не может сказать, насколько вероятен убыток от страховой деятельности.
Посмотрите, как меняются результаты. Откройте модель, измените исходные данные на листе «Исходные данные» и запустите моделирование: все таблицы и графики с этой страницы пересчитаются в Excel.
Исходные данные и допущения
Все допущения модели, их неопределенность и источник. Цифры условные.
Число убытков 2 величины
Сколько убытков в год.
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Ожидаемое число убытковЧисло действующих полисов × частота убытков. | убытков в год | 1200 |
| Изменчивость частоты убытков от года к годуПогода и экономические условия сдвигают все убытки вместе. Больше 0: для чистого пуассоновского распределения используйте 1%. | коэффициент вариации | 10% |
Размеры убытков 2 величины
Во что обходится один убыток.
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Средний убытокИстория убытков, проиндексированная на следующий год. | тыс. долл. | 5,0 |
| Стандартное отклонение убыткаБольшинство убытков мелкие; немногие очень крупные. | тыс. долл. | 12,0 |
Премия и метод 2 величины
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Премиальный доходОжидаемый коэффициент убыточности 80%. | млн долл. | 7,50 |
| Уровень плотности FFTПри большом числе убытков в год нужна мелкая сетка: значение по умолчанию (12) здесь слишком грубое. | 2^n шагов | 18 |
Единицы и обозначения
- Деньги
- Миллионы долларов США (млн долл.); размеры убытков — в тысячах долларов.
- Частота
- Число убытков за год.
- Тяжесть
- Размер одного убытка.
- Совокупное распределение
- Сумма всех убытков за год.
Основные допущения и ограничения
- Убытки
- Размеры убытков независимы друг от друга и от числа убытков.
- Частота
- Изменчивость частоты убытков от года к году делает число убытков распределенным по Пойа: пуассоновское распределение с гамма-распределенной интенсивностью (отрицательное биномиальное с любым s, не только целым).
- Данные
- Портфель и все цифры придуманы для этого примера.
Как пользоваться моделью
- Введите ожидаемое число убытков, его изменчивость, статистику размеров убытков и свою премию.
- Нажмите F9 на листе «Убытки», чтобы увидеть другие возможные годы.
- Запустите моделирование на ленте МоделРиск (уже заданы 10 000 итераций и фиксированное начальное число генератора).
- Оцените вероятность убытка от страховой деятельности и резерв, нужный при 99,5%.
Функции МоделРиск в модели
- VosePolyaObject, VoseLognormalObject
- Частота (пуассоновское распределение с гамма-распределенной интенсивностью) и тяжесть как объекты.
- VoseAggregateMC
- Складывает по одному смоделированному размеру для каждого убытка за год.
- VoseAggregateFFT
- То же совокупное распределение, рассчитанное быстрым преобразованием Фурье, затем выборка из него.
- VoseAggregateMoments
- Точные среднее, дисперсия, асимметрия и эксцесс совокупного распределения.
- VoseSimMean, VoseSimPercentile
- Статистика моделирования на листе «Результаты».
Что почитать
- Подбор распределения по данным: как выбрать закон распределения (статья)
- Klugman, S. A., Panjer, H. H. & Willmot, G. E. (2019). Loss Models: From Data to Decisions, 5th edition. Wiley.
- Метод Монте-Карло в анализе рисков: что это и как работает (статья)
Скачайте модель и запустите ее сами. Она открывается в Excel с МоделРиск. В пробной версии работают все примеры моделей.
Учебный пример: цифры придуманы для обучения и не описывают реальную компанию, проект или актив.
Другие примеры
- IN-02 · Страхование★★★★★ Подбор распределений частоты и размера убытков по данным Какие распределения подходят к истории убытков — и насколько короткая история сама добавляет риска? Распределения, подобранные по десяти годам числа убытков и 250 убыткам, сравненные по SIC и использованные с неопределенностью параметров и без нее.
- IN-03 · Страхование★★★★★ Программа перестрахования: эксцедент убытка и квотное перестрахование Сколько стоит перестрахование и что оно дает? Каждый убыток делится между страховщиком и двумя слоями эксцедента убытка, сверху квотное перестрахование; четыре программы в сравнении на одних и тех же убытках.
- IN-04 · Страхование★★★★★ Катастрофические и крупные убытки: хвост распределения Каков убыток «раз в 200 лет», если история охватывает всего 25 лет? Теория экстремальных значений на 25 годах событий: порог, хвост обобщенного распределения Парето и периоды повторяемости далеко за пределами данных.