Пример МоделРиск · Страхование
Подбор распределений частоты и размера убытков по данным
Какие распределения подходят к истории убытков — и насколько короткая история сама добавляет риска?
Из сохраненного прогона модели
Какое распределение подходит к размерам убытков?
Ранжированы по SIC (чем меньше, тем лучше); хвосты различаются гораздо сильнее, чем качество подбора.
| Распределение | SIC | Средний убыток, тыс. долл. | 99-й процентиль, тыс. долл. | 99,9-й процентиль, тыс. долл. | Используется |
|---|---|---|---|---|---|
| Логнормальное | 3066,9 | 206,2 | 1989 | 5748 | |
| Гамма | 3077,4 | 174,8 | 934 | 1449 | |
| Парето (тип 2) | 3052,4 | 174,2 | 1287 | 3243 | ✔ |
S-кривая (накопленная вероятность) с фиксированными параметрами и с неопределенностью параметров по сохраненному моделированию.
Вопрос бизнеса
Страховщик ответственности бизнеса задает резервы и капитал на следующий год для небольшого портфеля. Он считал убытки десять лет — около 40 в год — и знает урегулированные суммы по 250 убыткам: большинство меньше 200 000 долл., но несколько исчисляются миллионами. Очевидный шаг — подобрать к этим данным распределения и смоделировать следующий год.
Качество такой модели решают два вопроса. Какое распределение описывает размеры убытков, особенно редкие крупные, которые и определяют событие «раз в 200 лет»? И насколько страховщик может быть уверен в подобранных параметрах, если у него всего десять лет и 250 убытков?
Модель подбирает три распределения-кандидата для размера убытка, ранжирует их по SIC, сравнивает их хвосты и моделирует выплаты следующего года с фиксированными подобранными параметрами и с их неопределенностью.
- Для кого
- Актуариям по тарификации и капиталу, специалистам по резервам, разработчикам моделей, которые подбирают распределения к данным об убытках.
- Основные результаты
- Ранжирование трех распределений размера убытка по SIC и их хвосты · подобранная частота убытков с ее неопределенностью · общие выплаты следующего года с неопределенностью параметров и без нее: среднее, 95-й и 99,5-й процентили.
Как устроена модель
Дальше три листа, слева направо. Каждый передает данные следующему.
Лист «Исходные данные»
Десять лет числа убытков и 250 сумм убытков, по одному столбцу (лист «Данные»). Какое распределение размера использовать — из списка: лучшее по SIC или выбранное вручную.
Лист «Подбор»
К числу убытков подбирается распределение Пуассона; к суммам — логнормальное, гамма и Парето (тип 2), каждое ранжируется по SIC. Выплаты следующего года моделируются через VoseAggregateMC дважды: с фиксированными подобранными параметрами (Uncertainty = FALSE) и с их неопределенностью (Uncertainty = TRUE), когда в каждой итерации по данным заново разыгрываются правдоподобные параметры.
Лист «Результаты»
SIC кандидатов и их 99-й и 99,9-й процентили убытка; подобранная частота убытков и ее диапазон; общие выплаты следующего года с неопределенностью параметров и без нее.
Приемы МоделРиск
Похожие модели
- Задача
- Используется
Результаты подробно
Выплаты следующего года
Общие выплаты (млн долл.) с фиксированными подобранными параметрами и с их неопределенностью.
Гистограмма выплат с неопределенностью параметров по сохраненному моделированию.
| Показатель | Ед. изм. | 10-й проц. | Медиана | 90-й проц. | Среднее |
|---|---|---|---|---|---|
| Общие выплаты, параметры фиксированы | млн долл. | 4,51 | 6,68 | 9,78 | 6,98 |
| Общие выплаты с неопределенностью параметров | млн долл. | 4,42 | 6,63 | 9,94 | 7,03 |
| Частота убытков с неопределенностью параметров | в год | 37,4 | 40,0 | 42,6 | 40,0 |
| Показатель | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Итог «раз в 200 лет», параметры фиксированы (99,5-й процентиль) | млн долл. | 15,97 |
| Итог «раз в 200 лет» с неопределенностью параметров | млн долл. | 17,39 |
| Рост из-за неопределенности параметров | 9% |
Как читать результаты
- Все три распределения почти одинаково хорошо описывают основную массу убытков, поэтому значения SIC близки. Расходятся они в хвосте, где данных меньше всего: убыток «раз в 1000» отличается между ними в несколько раз. Для резервов и капитала важен именно хвост — сверьте его с самыми крупными убытками, о которых вы знаете.
- У гамма-распределения легкий хвост, и оно сильно занижает крупные убытки. У распределения Парето (тип 2), которое здесь выбрано по SIC, хвост тяжелый, как обычно и бывает у убытков по ответственности.
Десять лет и 250 убытков не позволяют точно определить параметры. С учетом их неопределенности итог «раз в 200 лет» выше, чем если считать подобранные параметры точными, — резервы и капитал, заданные по фиксированным параметрам, занижены.
Оба значения «раз в 200 лет» опираются всего на 50 из 10 000 итераций и от запуска к запуску меняются на несколько процентов: прежде чем задавать по ним капитал, запустите 100 000 итераций.
- Неопределенность параметров уменьшается по мере накопления данных, но никогда не исчезает. Для решений, зависящих от хвоста, всегда подбирайте с Uncertainty = TRUE.
Посмотрите, как меняются результаты. Откройте модель, измените исходные данные на листе «Исходные данные» и запустите моделирование: все таблицы и графики с этой страницы пересчитаются в Excel.
Исходные данные и допущения
Все допущения модели, их неопределенность и источник. Цифры условные.
Распределение размера убытка 1 величина
Какое распределение описывает суммы убытков.
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Используемое распределение«Лучшее по SIC» выбирает распределение с наименьшим SIC на листе «Подбор». | Лучшее по SIC |
Единицы и обозначения
- Деньги
- Суммы убытков в тыс. долл.; итоги в млн долл.
- SIC
- Информационный критерий Шварца = k·ln(n) − 2·ln(максимальное правдоподобие), как его возвращает VoseSIC: чем меньше, тем лучше подбор после штрафа за число параметров. (В окнах подбора МоделРиск показывается его значение с обратным знаком.)
- Неопределенность параметров
- Насколько подобранные параметры могут отличаться от истинных при данном объеме данных.
Основные допущения и ограничения
- Убытки
- Размеры убытков независимы и одинаково распределены; суммы уже приведены к ценам следующего года.
- Частота
- Число убытков распределено по Пуассону с частотой, оцененной по десяти годам.
- Данные
- Убытки придуманы для этого примера (разыграны из распределения с тяжелым хвостом).
Как пользоваться моделью
- Вставьте число убытков и суммы убытков в их столбцы на листе «Данные»: любое число лет и убытков. Модель читает все числа в каждом столбце.
- Посмотрите ранжирование по SIC и хвосты на листе «Подбор»; при необходимости выберите распределение на листе «Исходные данные».
- Запустите моделирование с ленты МоделРиск (заданы 10 000 итераций с фиксированным начальным числом). Это займет несколько минут: в каждой итерации три распределения подбираются заново; для экспериментов достаточно 1000 итераций.
- Для резервов и капитала используйте итоги с неопределенностью параметров: они учитывают то, чего не могут сказать данные.
Моделируйте эту модель в обычном режиме МоделРиск.
Функции МоделРиск в модели
- VosePoissonFitObject, VoseLognormalFitObject, VoseGammaFitObject, VosePareto2FitObject
- Распределения, подобранные по данным, без неопределенности параметров (FALSE) или с ней (TRUE).
- VoseSIC
- Информационный критерий Шварца для подбора: чем меньше, тем лучше.
- VosePercentile, VoseMean
- Процентили и среднее объекта подобранного распределения.
- VoseAggregateMC
- Итог следующего года: число убытков, затем размер для каждого убытка.
- VoseSimPercentile, VoseSimMean
- Статистика моделирования на листе «Результаты».
Что почитать
- Подбор распределения по данным: как выбрать закон распределения (статья)
- Klugman, S. A., Panjer, H. H. & Willmot, G. E. (2019). Loss Models: From Data to Decisions, 5th edition. Wiley.
- Подбор распределения по данным (статья)
Скачайте модель и запустите ее сами. Она открывается в Excel с МоделРиск. В пробной версии работают все примеры моделей.
Учебный пример: цифры придуманы для обучения и не описывают реальную компанию, проект или актив.
Другие примеры
- IN-01 · Страхование★★★★★ Совокупные страховые выплаты: частота × тяжесть Во что обойдутся выплаты за год? Выплаты за год как случайное число случайных размеров убытков, тремя способами — два верных и одна распространенная ошибка.
- IN-03 · Страхование★★★★★ Программа перестрахования: эксцедент убытка и квотное перестрахование Сколько стоит перестрахование и что оно дает? Каждый убыток делится между страховщиком и двумя слоями эксцедента убытка, сверху квотное перестрахование; четыре программы в сравнении на одних и тех же убытках.
- IN-04 · Страхование★★★★★ Катастрофические и крупные убытки: хвост распределения Каков убыток «раз в 200 лет», если история охватывает всего 25 лет? Теория экстремальных значений на 25 годах событий: порог, хвост обобщенного распределения Парето и периоды повторяемости далеко за пределами данных.