Пример МоделРиск · Страхование
Катастрофические и крупные убытки: хвост распределения
Каков убыток «раз в 200 лет», если история охватывает всего 25 лет? Теория экстремальных значений против одного подобранного распределения.
Из сохраненного прогона модели
Крупнейшее событие года
Убыток от события, который в среднем превышается раз в T лет, — кривая превышения по событию (OEP).
| Период повторяемости | POT, точно без моделирования | Логнормальное, моделирование | POT, моделирование | + неопределенность, моделирование | По данным, 25 лет |
|---|---|---|---|---|---|
| Раз в 10 лет | 29,0 | 17,7 | 27,8 | 27,9 | 25,6 |
| Раз в 25 лет | 45,1 | 23,2 | 43,9 | 44,4 | 51,0 |
| Раз в 50 лет | 61,5 | 28,3 | 58,9 | 59,8 | – |
| Раз в 100 лет | 82,7 | 34,1 | 83,0 | 82,8 | – |
| Раз в 200 лет | 110,5 | 42,0 | 106,3 | 113,0 | – |
| Раз в 250 лет | 121,1 | 43,8 | 115,4 | 125,7 | – |
График: логнормальное, превышения порога, + неопределенность параметров.
Вопрос бизнеса
Страховщик имущества 25 лет записывает каждое событие с убытком больше 1 млн долл. — бури, наводнения и крупные пожары, всего 189 событий, крупнейшее — 51 млн долл.
Для расчета капитала и катастрофического перестрахования совет директоров задает два вопроса: каким будет событие, которого стоит ждать раз в 100 или раз в 200 лет, и каким будет итог года с теми же периодами повторяемости? При 25 годах истории убыток «раз в 200 лет» лежит далеко за пределами данных, поэтому ответ зависит от модели хвоста.
Модель сравнивает логнормальное распределение, подобранное ко всем событиям, с теорией экстремальных значений, согласно которой события выше достаточно высокого порога подчиняются обобщенному распределению Парето (метод превышения порога, POT). Затем она показывает, насколько расширяется ответ, если учесть неопределенность подобранного хвоста, — ведь крупных событий всего около 40.
- Для кого
- Специалистам по моделированию катастроф и капитала, покупателям перестрахования, актуариям по тарификации, риск-менеджерам, работающим с экстремальными убытками.
- Основные результаты
- Крупнейшее событие года (по событию, OEP) и итог года (совокупно, AEP) для периодов повторяемости от 10 до 250 лет в трех моделях хвоста · как часто происходит событие больше 25, 50 или 100 млн долл. · диагностика порога и подобранный хвост.
Как устроена модель
После этого листа идут еще пять, слева направо. Каждый питает следующий.
Лист «Исходные данные»
Порог, выше которого моделируется хвост, и порог регистрации, ниже которого события не записывались.
Лист «Данные»
Все события с убытком больше 1 млн долл. за 25 лет в текущих деньгах; число событий, крупнейшее событие и итог по каждому году.
Лист «Хвост»
Среднее превышение для ряда порогов показывает, где начинается хвост. К событиям выше порога подбирается обобщенное распределение Парето (сдвиг зафиксирован на пороге). Ниже порога данные используются как есть (огива). Для сравнения — логнормальное распределение, подобранное ко всем событиям.
Точные периоды повторяемости и частота очень крупных событий следуют из подобранных распределений.
Лист «Год»
События следующего года разыгрываются в каждой модели: число событий по Пуассону, крупнейшее — через VoseLargest, итог — через VoseAggregateMC. Третья модель в каждой итерации заново подбирает хвост к данным с неопределенностью параметров.
Лист «Результаты»
Крупнейшее событие и итог года, превышаемые раз в 10–250 лет, по моделям, в сравнении с точными значениями и 25 годами данных. Как часто происходит очень крупное событие.
Приемы МоделРиск
Похожие модели
- Задача
- Используется
Результаты подробно
Итог года
Все убытки года от событий, превышаемые раз в T лет, — совокупная кривая превышения (AEP).
График: логнормальное, превышения порога, + неопределенность параметров.
| Период повторяемости | POT, точно без моделирования | Логнормальное, моделирование | POT, моделирование | + неопределенность, моделирование | По данным, 25 лет |
|---|---|---|---|---|---|
| Средний год | 35,1 | 31,1 | 34,6 | 35,3 | 34,6 |
| Раз в 10 лет | – | 51,7 | 62,1 | 63,4 | 65,6 |
| Раз в 25 лет | – | 63,0 | 82,5 | 83,3 | 98,7 |
| Раз в 50 лет | – | 71,7 | 101,7 | 104,2 | – |
| Раз в 100 лет | – | 78,4 | 121,3 | 125,1 | – |
| Раз в 200 лет | – | 85,6 | 149,3 | 161,1 | – |
| Раз в 250 лет | – | 88,2 | 162,6 | 177,9 | – |
POT — превышения порога. POT, точно: по подобранным распределениям без моделирования (лист «Хвост») — это значение и нужно использовать. Столбцы моделирования для «раз в 200 лет» опираются на худшие 50 из 10 000 лет. По данным: по годам истории, которые не дают заглянуть дальше чем примерно «раз в столько же лет».
Как часто бывает очень крупное событие?
Ожидаемое число лет между событиями больше каждого размера.
| Событие больше (млн долл.) | По данным, событий | Логнормальное, раз в … лет | POT, раз в … лет |
|---|---|---|---|
| 10 | 19 | 2 | 1 |
| 25 | 4 | 30 | 7 |
| 50 | 1 | 519 | 31 |
| 100 | – | 17 537 | 157 |
| 200 | – | 1 186 886 | 864 |
Как читать результаты
- 25 лет данных дотягиваются примерно до события «раз в 25 лет». Дальше ответ дает модель хвоста, и модели быстро расходятся: событие «раз в 200 лет» — около 40 млн долл. по логнормальному распределению и около 110 млн долл. по методу превышения порога (точные значения с листа «Хвост»).
- Логнормальное распределение формируется 146 умеренными событиями, и хвост у него тонкий: по нему событие больше 50 млн долл. случается примерно раз в 500 лет, а в истории за 25 лет такое уже есть. Обобщенное распределение Парето подбирается только к событиям выше порога, где и решается хвост.
- Выбирайте порог там, где среднее превышение начинает расти по прямой и выше него достаточно событий, — здесь 5 млн долл. и 43 события. Попробуйте 3 или 7,5 млн долл. на листе «Исходные данные»: если модель хвоста надежна, периоды повторяемости изменятся мало.
- При 43 крупных событиях форма хвоста неопределенна. Учет этой неопределенности снова повышает значения «раз в 200 лет» — насколько именно, само трудно определить при 10 000 итераций: два запуска дали событие «раз в 200 лет» около 113 и 158 млн долл. Для капитала и перестрахования это часть риска.
- Итог года «раз в 200 лет» намного больше события «раз в 200 лет»: в плохой год сходятся несколько крупных событий (в 2006 году было два больше 40 млн долл.). Перестрахование по событию оценивают по крупнейшему событию. Капитал и совокупные покрытия — по итогу.
- Ошибка моделирования: при 10 000 смоделированных лет значение «раз в 200 лет» опирается на 50 худших лет, а для такого тяжелого хвоста это грубая оценка — здесь смоделированное событие «раз в 200 лет» примерно на 4% ниже точного значения, а при другом начальном числе оказалось на 17% выше. Используйте точные значения, где они есть, и запускайте 100 000 итераций и больше, прежде чем полагаться на смоделированное «раз в 200 лет».
Посмотрите, как меняются результаты. Откройте модель, измените исходные данные на листе «Исходные данные» и запустите моделирование: все таблицы и графики с этой страницы пересчитаются в Excel.
Исходные данные и допущения
Все допущения модели, их неопределенность и источник. Цифры условные.
Хвост 2 величины
Где начинается модель хвоста.
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Порог хвостаВыбирается по среднему превышению на листе «Хвост»; выше него около 40 событий. | млн долл. | 5,0 |
| Порог регистрации данныхСобытия ниже этой суммы не записывались. | млн долл. | 1,0 |
Единицы и обозначения
- Деньги
- Миллионы долларов США (млн долл.) в текущих деньгах.
- Событие
- Все убытки от одного случая: одной бури, одного наводнения, одного пожара.
- Период повторяемости
- «Раз в T лет»: превышается с вероятностью 1/T в любой отдельный год. Убыток «раз в 200 лет» — 99,5-й процентиль года.
- OEP и AEP
- Кривая превышения по событию: крупнейшее отдельное событие года. Совокупная кривая превышения: итог года по всем событиям.
- Среднее превышение
- Средняя величина, на которую события выше порога его превышают.
Основные допущения и ограничения
- События
- Число событий распределено по Пуассону; убытки от событий независимы и одинаково распределены.
- Данные
- Убытки в текущих деньгах и по текущему портфелю; тренды подверженности и инфляция исключены.
- Хвост
- Выше порога убытки подчиняются обобщенному распределению Парето — это основа теории экстремальных значений, а не непреложный факт.
- История
- 189 событий придуманы для этого примера.
Как пользоваться моделью
- Вставьте свои события на лист «Данные» (год и убыток, по одному событию в строке) в текущих деньгах.
- Посмотрите на среднее превышение на листе «Хвост» и задайте порог на листе «Исходные данные».
- Запустите моделирование на ленте МоделРиск (уже заданы 10 000 итераций и фиксированное начальное число генератора).
- Посмотрите событие и итог «раз в 100» и «раз в 200 лет» — и насколько далеко расходятся модели хвоста.
Моделируйте эту модель в обычном режиме МоделРиск.
Функции МоделРиск в модели
- VoseGPDFitObject, VoseGPDFitP
- Хвост обобщенного распределения Парето, подобранный к событиям выше порога, и его параметры (сдвиг, масштаб, форма).
- VoseOgiveObject
- Сами данные как распределение между порогом регистрации и порогом хвоста.
- VoseLognormalFitObject
- Логнормальное распределение, подобранное ко всем событиям, для сравнения.
- VoseLargest
- Наибольшее из n событий, разыгранных из распределения.
- VoseAggregateMC
- Итог года по случайному числу событий.
- VosePoissonFit, VoseProb, VosePercentile
- Число событий с неопределенностью; вероятности превышения и точные периоды повторяемости.
- VoseSimPercentile, VoseSimMean
- Статистика моделирования на листе «Результаты».
Что почитать
- Метод Монте-Карло простыми словами (статья)
- Embrechts, P., Klüppelberg, C. & Mikosch, T. (1997). Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer.
- McNeil, A. J. (1997). Estimating the tails of loss severity distributions using extreme value theory. ASTIN Bulletin 27(1), 117–137.
- Coles, S. (2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer.
Скачайте модель и запустите ее сами. Она открывается в Excel с МоделРиск. В пробной версии работают все примеры моделей.
Учебный пример: цифры придуманы для обучения и не описывают реальную компанию, проект или актив.
Другие примеры
- IN-01 · Страхование★★★★★ Совокупные страховые выплаты: частота × тяжесть Во что обойдутся выплаты за год? Выплаты за год как случайное число случайных размеров убытков, тремя способами — два верных и одна распространенная ошибка.
- IN-02 · Страхование★★★★★ Подбор распределений частоты и размера убытков по данным Какие распределения подходят к истории убытков — и насколько короткая история сама добавляет риска? Распределения, подобранные по десяти годам числа убытков и 250 убыткам, сравненные по SIC и использованные с неопределенностью параметров и без нее.
- IN-03 · Страхование★★★★★ Программа перестрахования: эксцедент убытка и квотное перестрахование Сколько стоит перестрахование и что оно дает? Каждый убыток делится между страховщиком и двумя слоями эксцедента убытка, сверху квотное перестрахование; четыре программы в сравнении на одних и тех же убытках.