Пример МоделРиск · Страхование
Программа перестрахования: эксцедент убытка и квотное перестрахование
Сколько стоит перестрахование и что оно дает? Четыре программы в сравнении на одних и тех же убытках.
Из сохраненного прогона модели
Какая программа?
Андеррайтинговый результат (млн долл.) по каждой программе на одних и тех же смоделированных убытках.
| Программа | Среднее, млн долл. | Ст. откл., млн долл. | «Раз в 20 лет», 5-й процентиль | «Раз в 200 лет», 0,5-й процентиль | Вероятность убытка |
|---|---|---|---|---|---|
| Без перестрахования | 3,59 | 10,50 | −13,18 | −43,19 | 26,8% |
| Только эксцедент убытка | 1,90 | 6,65 | −6,99 | −22,13 | 32,7% |
| Только квотное | 3,14 | 7,35 | −8,59 | −29,60 | 24,0% |
| Эксцедент убытка и квотное | 1,47 | 4,65 | −4,75 | −15,35 | 31,4% |
S-кривая (накопленная вероятность) для вариантов «без перестрахования», «эксцедент убытка», «квотное» и «оба» по сохраненному моделированию.
Вопрос бизнеса
Страховщик имущества предприятий собирает 42 млн долл. премии в год. Он ожидает около 60 убытков в среднем по 500 000 долл., но убытки по имуществу очень неравномерны: большинство мелкие, а пожар на крупном заводе может стоить десятки миллионов. Совет директоров хочет снизить убыток «раз в 200 лет», по которому определяется капитал, который должен держать страховщик.
Брокер предлагает два слоя эксцедента убытка на риск, которые оплачивают часть каждого убытка от 2 до 10 млн долл. и от 10 до 25 млн долл., и квотное перестрахование 30%, которое забирает 30% премии и убытков, оставшихся у страховщика, и возвращает комиссию.
Перестрахование в среднем стоит денег — это маржа перестраховщиков, — поэтому вопрос в том, стоит ли высвобождаемый им капитал своей цены. Модель делит каждый смоделированный убыток между страховщиком и слоями и сравнивает четыре программы на одних и тех же убытках.
- Для кого
- Специалистам по покупке перестрахования, андеррайтерам, актуариям по капиталу и тарификации, финансовым службам страховщиков.
- Основные результаты
- Андеррайтинговый результат без перестрахования, только со слоями, только с квотным и с обоими: среднее, разброс, результаты «раз в 20» и «раз в 200 лет», вероятность убытка · ожидаемая стоимость каждой программы, высвобождаемый ею капитал и цена этого капитала · ожидаемый убыток каждого слоя, рассчитанный точно.
Как устроена модель
Дальше три листа, слева направо. Каждый передает данные следующему.
Лист «Исходные данные»
Ожидаемое число убытков, средний убыток и тяжесть хвоста размеров убытков. Приоритет и лимиты двух слоев и их цены как кратные ожидаемого убытка; доля квотного перестрахования и его комиссия. Премия, доля расходов и стоимость капитала.
Лист «Программа»
Ожидаемый убыток каждого слоя рассчитывается точно с помощью VoseDeductObject и задает его цену. В каждой итерации убытки года разыгрываются один раз: VoseAggregateTranche суммирует по всем убыткам часть ниже приоритета, часть в каждом слое и часть выше программы. Из этого следуют возмещения, премии и результат каждой программы.
Лист «Результаты»
Среднее, разброс, результат «раз в 20» и «раз в 200 лет» и вероятность убытка для каждой программы. Ее ожидаемая стоимость, высвобождаемый капитал, цена этого капитала и чистая выгода при данной стоимости капитала; убытки каждого слоя — точные и смоделированные.
Приемы МоделРиск
Похожие модели
- Задача
- Используется
Результаты подробно
Сколько стоит и что дает
В сравнении с вариантом без перестрахования: от какой части ожидаемого результата отказываемся и какая часть убытка «раз в 200 лет» снимается.
| Программа | Стоимость, млн долл. в год | Высвобождаемый капитал, млн долл. | Безубыточная стоимость капитала | Чистая выгода, млн долл. в год | Стоит ли? при стоимости капитала |
|---|---|---|---|---|---|
| Только эксцедент убытка | 1,69 | 21,06 | 8,0% | 0,42 | ✔ да |
| Только квотное | 0,45 | 13,59 | 3,3% | 0,91 | ✔ да |
| Эксцедент убытка и квотное | 2,12 | 27,84 | 7,6% | 0,67 | ✔ да |
Стоимость — снижение среднего результата. Высвобождаемый капитал — рост результата «раз в 200 лет». Безубыточность — стоимость ÷ высвобождаемый капитал, стоимость капитала, при которой программа окупается. Программа стоит своих денег, если стоимость капитала на листе «Исходные данные» выше. Чистая выгода — стоимость капитала × высвобождаемый капитал − стоимость.
Высвобождаемый капитал считается по двум результатам «раз в 200 лет», каждый по 50 из 10 000 итераций: от запуска к запуску он меняется примерно на 1,5 млн долл., поэтому безубыточность, близкая к стоимости капитала, может смениться на противоположный вывод.
Куда уходят убытки
Каждая часть убытков года (млн долл.): ее ожидаемый убыток, точный и по моделированию.
Гистограмма убытков брутто по сохраненному моделированию.
| Часть каждого убытка | Ожидаемое, точно | Среднее по моделированию | 95-й процентиль, «раз в 20 лет» | 99,5-й процентиль, «раз в 200 лет» | Доля ожидаемого |
|---|---|---|---|---|---|
| Удержание страховщика | 24,84 | 24,87 | 33,55 | 39,22 | 82,8% |
| Слой 1 | 4,21 | 4,20 | 12,40 | 20,25 | 14,0% |
| Слой 2 | 0,62 | 0,62 | 4,41 | 15,00 | 2,1% |
| Выше программы | 0,33 | 0,32 | – | 22,11 | 1,1% |
| Убытки брутто | 30,00 | 30,01 | 46,77 | 76,27 | 100,0% |
Как читать результаты
- Каждая программа снижает ожидаемый результат: перестраховщики берут больше, чем ожидают выплатить. Здесь два слоя стоят около 1,7 млн долл. в год, квотное — около 0,5 млн долл.; вместе около 2,1 млн долл. — больше половины ожидаемой прибыли.
- Взамен плохие годы становятся гораздо менее плохими. Без перестрахования раз в 200 лет убыток составляет около 43 млн долл.; с обоими покрытиями — около 15 млн долл. Капитал, который страховщик должен держать под андеррайтинговый риск, снижается примерно на 28 млн долл.
- Слои действуют только на крупные убытки: они берут около шестой части ожидаемых убытков, но большую часть того, что делает год катастрофическим. Квотное перестрахование уменьшает все в одной пропорции — прибыль тоже. При комиссии, покрывающей расходы страховщика, это самый дешевый капитал в модели, но высвобождает он меньше.
- При стоимости капитала 10% каждая программа стоит больше, чем обходится. Снизьте стоимость капитала или повысьте цены слоев на листе «Исходные данные» — и ответ изменится: перестрахование — источник капитала, и покупать его стоит, когда он дешевле денег акционеров.
- Убытки выше верхней границы программы возвращаются к страховщику. Они редки — примерно раз в 64 года, — но в год «раз в 200 лет» превышение над 25 млн долл. велико. Сверьте верхнюю границу программы с наибольшими страховыми суммами.
Посмотрите, как меняются результаты. Откройте модель, измените исходные данные на листе «Исходные данные» и запустите моделирование: все таблицы и графики с этой страницы пересчитаются в Excel.
Исходные данные и допущения
Все допущения модели, их неопределенность и источник. Цифры условные.
Убытки 4 величины
Сколько убытков в год и какого размера.
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Ожидаемое число убытковДействующие договоры × частота убытков по истории убытков. | убытков в год | 60 |
| Средний убытокИстория убытков в ценах следующего года. | тыс. долл. | 500 |
| Хвост размеров убытков (параметр формы Парето)Подобрано к крупным убыткам (как в IN-02). Должно быть больше 1. | меньше = тяжелее | 2,2 |
| Пример убытка, чтобы показать, как он делитсяИспользуется только для иллюстрации на листе «Программа». | тыс. долл. | 12 000 |
Слои эксцедента убытка 5 величин
Слои на риск: каждый оплачивает ту часть каждого убытка, которая в него попадает.
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| ПриоритетСтраховщик оставляет себе каждый убыток до этой суммы. | тыс. долл. | 2000 |
| Лимит слоя 1Слой 1 оплачивает часть каждого убытка от приоритета до приоритета + этот лимит. | тыс. долл. | 8000 |
| Лимит слоя 2Слой 2 начинается там, где кончается слой 1. Верхнюю границу задайте по наибольшим страховым суммам. | тыс. долл. | 15 000 |
| Цена слоя 1Задевается каждый год: цена близка к ожидаемому убытку. | × ожидаемый убыток | 1,25 |
| Цена слоя 2Задевается редко: перестраховщик берет больше за неопределенность. | × ожидаемый убыток | 2,00 |
Квотное перестрахование 2 величины
Фиксированная доля премии и убытков, которые остаются у страховщика после слоев.
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Доля переданных премии и убытковКак предложил брокер. | 30% | |
| Перестраховочная комиссияВозвращается перестраховщиком на покрытие расходов страховщика на заключение договоров. | от переданной премии | 25% |
Премия, расходы и капитал 3 величины
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Премия бруттоПодписывается в следующем году. | млн долл. | 42,0 |
| Доля расходовКомиссия брокеров и административные расходы. | от премии брутто | 20% |
| Стоимость капиталаДоходность, которую требуют акционеры на капитал, который держит страховщик. | в год | 10% |
Единицы и обозначения
- Деньги
- Миллионы долларов США (млн долл.); размеры убытков, приоритет и лимиты в тыс. долл.
- Эксцедент убытка
- Слой «8000 сверх 2000» оплачивает часть каждого убытка выше 2 млн долл., но не более 8 млн долл.: отрезок каждого убытка от 2 до 10 млн долл.
- Квотное перестрахование
- Перестраховщик берет фиксированную долю премии и убытков и возвращает перестраховочную комиссию со своей доли премии.
- Результат
- Андеррайтинговый результат = премия − расходы − перестраховочные премии + комиссия − оставленные убытки; до инвестиционного дохода и налога.
- «Раз в 200 лет»
- 0,5-й процентиль результата: убыток, который превышается раз в 200 лет; на нем основан капитал платежеспособности.
Основные допущения и ограничения
- Убытки
- Число убытков распределено по Пуассону; размеры убытков независимы и распределены по Парето (тип 2) — с тяжелым хвостом.
- Слои
- Каждый слой оплачивает каждый убыток, который до него доходит (неограниченные бесплатные восстановления); часть убытка выше верхнего слоя остается у страховщика.
- Квотное перестрахование
- Оно делит то, что остается у страховщика после возмещений по слоям, и оплачивает свою долю цены слоев.
- Капитал
- Нужный капитал определяется только андеррайтинговым результатом «раз в 200 лет»: других рисков и диверсификации нет.
- Данные
- Портфель и все цифры придуманы для этого примера.
Как пользоваться моделью
- Введите свои допущения по убыткам, слои из предложения брокера и их цены.
- Нажмите F9 на листе «Программа», чтобы увидеть, как делятся убытки других лет.
- Запустите моделирование на ленте МоделРиск (уже заданы 10 000 итераций и фиксированное начальное число генератора).
- Сравните стоимость каждой программы с высвобождаемым ею капиталом при своей стоимости капитала.
Функции МоделРиск в модели
- VosePoissonObject, VosePareto2Object
- Распределения числа и размера убытков как объекты.
- VoseDeductObject, VoseMean
- Сумма, которую слой платит по одному убытку, и ее точное среднее — используется для цены слоя.
- VoseProb
- Вероятность, что убыток дойдет до слоя.
- VoseAggregateTranche
- Суммирует по всем убыткам года часть, которая попадает в каждый слой (массив на четыре ячейки).
- VoseSimMean, VoseSimStdev, VoseSimPercentile, VoseSimProbability
- Статистика моделирования на листе «Результаты».
Что почитать
- Метод Монте-Карло простыми словами (статья)
- Albrecher, H., Beirlant, J. & Teugels, J. L. (2017). Reinsurance: Actuarial and Statistical Aspects. Wiley.
- Klugman, S. A., Panjer, H. H. & Willmot, G. E. (2019). Loss Models: From Data to Decisions, 5th edition. Wiley — coverage modifications.
- Метод Монте-Карло в анализе рисков: что это и как работает (статья)
Скачайте модель и запустите ее сами. Она открывается в Excel с МоделРиск. В пробной версии работают все примеры моделей.
Учебный пример: цифры придуманы для обучения и не описывают реальную компанию, проект или актив.
Другие примеры
- IN-01 · Страхование★★★★★ Совокупные страховые выплаты: частота × тяжесть Во что обойдутся выплаты за год? Выплаты за год как случайное число случайных размеров убытков, тремя способами — два верных и одна распространенная ошибка.
- IN-02 · Страхование★★★★★ Подбор распределений частоты и размера убытков по данным Какие распределения подходят к истории убытков — и насколько короткая история сама добавляет риска? Распределения, подобранные по десяти годам числа убытков и 250 убыткам, сравненные по SIC и использованные с неопределенностью параметров и без нее.
- IN-04 · Страхование★★★★★ Катастрофические и крупные убытки: хвост распределения Каков убыток «раз в 200 лет», если история охватывает всего 25 лет? Теория экстремальных значений на 25 годах событий: порог, хвост обобщенного распределения Парето и периоды повторяемости далеко за пределами данных.