Пример МоделРиск · Страхование
Расчет страховой премии: принципы премии
Два договора в среднем стоят одинаково — должна ли быть одинаковой и премия? Сравнение четырех принципов расчета премии.
Из сохраненного прогона модели
Сколько должен стоить каждый договор?
Рисковая премия (тыс. долл., до расходов) и ее надбавка сверх ожидаемых выплат.
| Принцип | Договор A, автопарк | Надбавка | Договор B, имущество | Надбавка | Премия B ÷ A |
|---|---|---|---|---|---|
| Ожидаемые выплаты (без надбавки) | 100,0 | 100,0 | 1,00 | ||
| Ожидаемое значение | 115,0 | 15,0% | 115,0 | 15,0% | 1,00 |
| Стандартное отклонение | 108,7 | 8,7% | 135,4 | 35,4% | 1,24 |
| С поправкой на риск (пропорциональные риски) | 106,5 | 6,5% | 128,4 | 28,4% | 1,20 |
| Стоимость капитала | 111,8 | 11,8% | 165,7 | 65,7% | 1,48 |
S-кривая (накопленная вероятность) договора A (автопарк службы доставки) и договора B (имущество производителя) по сохраненному моделированию.
Вопрос бизнеса
Андеррайтеры страховщика готовят котировки по двум договорам для бизнеса. Первый покрывает 150 фургонов службы доставки: около 20 убытков в год в среднем по 5000 долл. — царапины, разбитые зеркала, иногда столкновения. Второй покрывает двенадцать площадок производственной группы от пожара и повреждений: около одного убытка в год в среднем на 100 000 долл., но пожар может стоить во много раз больше. Ожидаемые выплаты по обоим — 100 000 долл. в год.
Премия «ожидаемые выплаты плюс фиксированный процент» была бы для них одинаковой, но второй договор гораздо рискованнее: в плохой год он может обойтись в семь раз дороже своего среднего, первый — едва ли вдвое. Модель рассчитывает премию по обоим договорам по четырем принципам и показывает, как часто каждая премия не покрыла бы выплаты года.
- Для кого
- Андеррайтерам, актуариям по тарификации, покупателям перестрахования; первая модель для расчета тарифа.
- Основные результаты
- Рисковая премия и ее надбавка для каждого договора по четырем принципам — ожидаемого значения, стандартного отклонения, с поправкой на риск и стоимости капитала · брутто-премия с учетом расходов · вероятность, что выплаты года превысят каждую премию · распределение годовых выплат по каждому договору.
Как устроена модель
Дальше три листа, слева направо. Каждый передает данные следующему.
Лист «Исходные данные»
Для каждого договора — ожидаемое число убытков, средний размер убытка и его стандартное отклонение. Параметр каждого принципа премии; доля расходов.
Лист «Тариф»
Число убытков распределено по Пуассону, размеры — логнормально, в виде объектов. VoseAggregateMoments дает точные среднее и стандартное отклонение выплат за год, а VoseAggregateFFTObject — их процентили. Премии по принципам ожидаемого значения, стандартного отклонения и стоимости капитала — простая арифметика на этих величинах; VosePrincipleRA дает премию с поправкой на риск; VosePrincipleEV и VosePrincipleStdev перепроверяют арифметику. Выплаты каждого года моделируются через VoseAggregateMC.
Лист «Результаты»
Рисковая премия и надбавка каждого договора по каждому принципу; брутто-премия для котировки; вероятность, что выплаты года превысят каждую рисковую премию. Выплаты по каждому договору — моделирование и расчет.
Приемы МоделРиск
Похожие модели
- Задача
- Используется
Результаты подробно
Что котировать: брутто-премия
Рисковая премия плюс расходы (тыс. долл.): рисковая премия ÷ (1 − доля расходов).
| Принцип | Договор A, автопарк | Договор B, имущество |
|---|---|---|
| Ожидаемое значение | 153,3 | 153,3 |
| Стандартное отклонение | 145,0 | 180,5 |
| С поправкой на риск (пропорциональные риски) | 142,0 | 171,2 |
| Стоимость капитала | 149,1 | 220,9 |
Как часто премии не хватает?
Вероятность, что выплаты года превысят рисковую премию.
График: договор A (автопарк службы доставки), договор B (имущество производителя).
| Принцип | Договор A | Договор B |
|---|---|---|
| Ожидаемое значение | 29,2% | 31,2% |
| Стандартное отклонение | 35,3% | 26,9% |
| С поправкой на риск (пропорциональные риски) | 37,5% | 28,3% |
| Стоимость капитала | 32,4% | 21,9% |
Выплаты за год
Общие выплаты по каждому договору за год (тыс. долл.): по моделированию и по расчету на листе «Тариф».
| Политика | Среднее | Станд. откл. | 75-й процентиль | 95-й проц. | «Раз в 200 лет», 99,5-й процентиль |
|---|---|---|---|---|---|
| Договор A: автопарк службы доставки | 99,9 | 35,1 | 120,2 | 163,1 | 214,1 |
| расчет (без моделирования) | 100,0 | 34,9 | 120,1 | 163,0 | 217,9 |
| Договор B: имущество производителя | 101,3 | 142,8 | 145,6 | 381,0 | 783,6 |
| расчет (без моделирования) | 100,0 | 141,4 | 145,0 | 373,7 | 756,5 |
Как читать результаты
- Ожидаемые выплаты по обоим договорам — 100 000 долл. в год, но выплаты по договору B колеблются вчетверо сильнее — стандартное отклонение около 141 000 долл. против 35 000 долл., — а год «раз в 200 лет» примерно в семь с половиной раз больше среднего против примерно двух раз у договора A.
- Принцип ожидаемого значения назначает обоим одинаковую премию 115 000 долл.: его надбавка не учитывает риск. При нем премии по договору B не хватает почти в трети лет — примерно так же, как у договора A, — но недостача у B гораздо крупнее.
- Принципы стандартного отклонения, с поправкой на риск и стоимости капитала назначают договору B на 20–50% больше, чем договору A, потому что его выплаты рискованнее. Принцип стоимости капитала сильнее всего чувствителен к хвосту: он оценивает капитал, которого требует год «раз в 200 лет».
- Котируется брутто-премия: четверть ее идет на брокеров и административные расходы, поэтому каждая рисковая премия делится на 0,75. По принципу ожидаемого значения это около 153 000 долл. для любого договора. По принципу стоимости капитала — около 149 000 долл. для договора A и 221 000 долл. для договора B.
- Одна вероятность недостачи — плохой ориентир: при принципах, учитывающих риск, премии по договору A не хватает чаще, чем по договору B, но на небольшие суммы. Премия должна отражать, насколько тяжелы плохие годы, а не только то, как часто они случаются.
- МоделРиск рассчитывает премию с поправкой на риск и процентили выплат за год быстрым преобразованием Фурье, которое может быть грубым для редких очень крупных убытков: лист «Тариф» проверяет, что принцип с поправкой на риск при ρ = 1 возвращает ожидаемые выплаты, а таблица выплат за год показывает каждое расчетное значение рядом со смоделированным.
- Смоделированный год «раз в 200 лет» может отличаться от расчетного на несколько процентов: за ним лежат лишь 50 из 10 000 итераций, поэтому он меняется от запуска к запуску. Расчетный не меняется, поэтому премия по принципу стоимости капитала построена на нем. Принцип Эсшера в МоделРиск (VosePrincipleEsscher) требует убытков с легким хвостом и здесь не используется.
Посмотрите, как меняются результаты. Откройте модель, измените исходные данные на листе «Исходные данные» и запустите моделирование: все таблицы и графики с этой страницы пересчитаются в Excel.
Исходные данные и допущения
Все допущения модели, их неопределенность и источник. Цифры условные.
Договор A: автопарк службы доставки 3 величины
Около 150 фургонов: много мелких убытков.
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Ожидаемое число убытковРазмер автопарка × частота убытков. | убытков в год | 20 |
| Средний убытокРемонт, стекла, иногда столкновения. | тыс. долл. | 5,0 |
| Стандартное отклонение убытка | тыс. долл. | 6,0 |
Договор B: имущество производителя 3 величины
Двенадцать площадок: около одного убытка в год, иногда очень крупного.
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Ожидаемое число убытковПлощадки × частота убытков. | убытков в год | 1,0 |
| Средний убытокПожары, наводнения, поломки оборудования. | тыс. долл. | 100,0 |
| Стандартное отклонение убытка | тыс. долл. | 100,0 |
Принципы премии 4 величины
Параметр надбавки каждого принципа.
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Принцип ожидаемого значения: надбавка θПремия = (1 + θ) × ожидаемые выплаты. | от ожидаемых выплат | 15% |
| Принцип стандартного отклонения: множитель αПремия = ожидаемые выплаты + α × стандартное отклонение выплат за год. | × ст. откл. | 0,25 |
| Принцип с поправкой на риск: неприятие риска ρКаждая вероятность убытка возводится в степень 1 ÷ ρ; ρ = 1 дает ожидаемые выплаты. | 1 или больше | 1,20 |
| Принцип стоимости капитала: стоимость капиталаПремия = ожидаемые выплаты + стоимость капитала × (выплаты «раз в 200 лет» − ожидаемые выплаты). | в год | 10% |
Расходы 1 величина
| Допущение | Ед. изм. | Значение |
|---|---|---|
| Доля расходовКомиссия брокеров и административные расходы. | от премии брутто | 25% |
Единицы и обозначения
- Деньги
- Тысячи долларов США.
- Рисковая премия
- Ожидаемые выплаты плюс надбавка за риск, до расходов.
- Премия брутто
- Рисковая премия плюс расходы: рисковая премия ÷ (1 − доля расходов).
- Надбавка
- Насколько премия выше ожидаемых выплат, в процентах от них.
- «Раз в 200 лет»
- 99,5-й процентиль выплат за год.
Основные допущения и ограничения
- Убытки
- Число убытков распределено по Пуассону; размеры убытков логнормальны и не зависят друг от друга и от их числа.
- Договоры
- Один год покрытия, без франшизы и лимита; два договора тарифицируются отдельно.
- Принципы
- Принцип с поправкой на риск и процентили выплат за год МоделРиск рассчитывает быстрым преобразованием Фурье. Проверка подтверждает, что при ρ = 1 он воспроизводит ожидаемые выплаты, а лист «Результаты» показывает каждое расчетное значение рядом со смоделированным.
- Данные
- Договоры и все цифры придуманы для этого примера.
Как пользоваться моделью
- Введите ожидаемое число и размеры убытков по каждому договору.
- Задайте надбавку каждого принципа по практике своей компании.
- Запустите моделирование на ленте МоделРиск (уже заданы 10 000 итераций и фиксированное начальное число генератора).
- Сравните премии: надбавка, не учитывающая риск, недооценивает волатильный договор.
Функции МоделРиск в модели
- VosePoissonObject, VoseLognormalObject
- Число и размеры убытков как объекты распределений.
- VoseAggregateMoments
- Точные среднее, дисперсия, асимметрия и эксцесс выплат за год (массив на четыре ячейки).
- VoseAggregateFFTObject, VosePercentile
- Выплаты за год как рассчитанное распределение и его процентили: год «раз в 200 лет» для премии по принципу стоимости капитала.
- VosePrincipleRA
- Премия по принципу с поправкой на риск (пропорциональные риски).
- VosePrincipleEV, VosePrincipleStdev
- Премии МоделРиск по принципам ожидаемого значения и стандартного отклонения: перекрестная проверка арифметики.
- VoseAggregateMC
- Общие выплаты за год: число убытков, затем размер каждого убытка.
- VoseSimPercentile, VoseSimProbability
- Статистика моделирования на листе «Результаты».
Что почитать
- Метод Монте-Карло простыми словами (статья)
- Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J. & Denuit, M. (2008). Modern Actuarial Risk Theory, 2nd edition. Springer.
- Wang, S. (1995). Insurance pricing and increased limits ratemaking by proportional hazards transforms. Insurance: Mathematics and Economics 17(1), 43–54.
- Анализ рисков инвестиционного проекта: NPV методом Монте-Карло (статья)
Скачайте модель и запустите ее сами. Она открывается в Excel с МоделРиск. В пробной версии работают все примеры моделей.
Учебный пример: цифры придуманы для обучения и не описывают реальную компанию, проект или актив.
Другие примеры
- IN-03 · Страхование★★★★★ Программа перестрахования: эксцедент убытка и квотное перестрахование Сколько стоит перестрахование и что оно дает? Каждый убыток делится между страховщиком и двумя слоями эксцедента убытка, сверху квотное перестрахование; четыре программы в сравнении на одних и тех же убытках.
- IN-01 · Страхование★★★★★ Совокупные страховые выплаты: частота × тяжесть Во что обойдутся выплаты за год? Выплаты за год как случайное число случайных размеров убытков, тремя способами — два верных и одна распространенная ошибка.
- IN-02 · Страхование★★★★★ Подбор распределений частоты и размера убытков по данным Какие распределения подходят к истории убытков — и насколько короткая история сама добавляет риска? Распределения, подобранные по десяти годам числа убытков и 250 убыткам, сравненные по SIC и использованные с неопределенностью параметров и без нее.