Почти любая модель риска начинается с экспертных оценок: «стоимость оборудования от 380 до 470 млн руб., скорее всего 400». Три числа нужно превратить в распределение вероятностей. Два самых популярных варианта — треугольное и PERT-распределение. Разница между ними кажется технической деталью, но она заметно меняет результат.
Сравнение на одной оценке
Возьмем оценку стоимости оборудования: минимум 380, наиболее вероятно 400, максимум 470 млн руб. Диапазон несимметричен: подорожать оборудование может сильнее, чем подешеветь.
| Показатель, млн руб. | Треугольное | PERT |
|---|---|---|
| Среднее | 416,7 | 408,3 |
| Стандартное отклонение | 19,3 | 15,8 |
| P50 | 413,9 | 406,4 |
| P80 | 434,5 | 422,1 |
| P90 | 444,9 | 430,6 |
| Вероятность превысить 440 | 14,3 % | 3,6 % |
| Вероятность превысить 450 | 6,3 % | 0,8 % |
Треугольное распределение дает вероятность превысить 450 млн руб. в восемь раз больше, чем PERT. Если эксперт, называя максимум 470, имел в виду «почти невероятный худший случай», треугольник явно переоценивает такие исходы.
Почему треугольное распределение искажает оценку
- Тяжелые хвосты. Плотность треугольника падает к краям линейно, поэтому значения вблизи максимума получают заметную вероятность.
- Среднее зависит от крайних значений. Среднее треугольника — простое среднее трех чисел, и минимум с максимумом весят столько же, сколько наиболее вероятное значение. Ошибка эксперта в оценке максимума напрямую сдвигает результат. У PERT вес наиболее вероятного значения в четыре раза больше.
- Излом в вершине. Распределение реальных величин обычно гладкое, а у треугольника острый пик. Это меньшая проблема, но она показывает, что форма выбрана для удобства, а не по смыслу.
В моделях с десятками оценок эти искажения складываются: модель на треугольных распределениях дает более высокие средние и более широкие диапазоны, чем та же модель на PERT. Какой результат ближе к реальности, зависит от того, что эксперты имели в виду под минимумом и максимумом. Поэтому важно договориться об этом заранее — см. «Экспертная оценка рисков».
Формулы PERT-распределения
PERT-распределение — частный случай бета-распределения, растянутого на интервал от минимума a до максимума b, с наиболее вероятным значением m:
α = 1 + 4 × (m − a) / (b − a)
β = 1 + 4 × (b − m) / (b − a)
Среднее = (a + 4m + b) / 6
Для оценки 380–400–470: α = 1,89, β = 4,11, среднее 408,3 млн руб. Название пришло из метода PERT (Program Evaluation and Review Technique), разработанного в конце 1950-х годов для планирования крупных оборонных программ США: формула среднего по трем оценкам использовалась для длительностей работ.
Как задать PERT в Excel и МоделРиск
В обычном Excel PERT-распределение задается через обратное бета-распределение:
=БЕТА.ОБР(СЛЧИС(); 1,89; 4,11; 380; 470)
Каждый пересчет (F9) дает новое случайное значение. Пошаговый пример модели на таких формулах — в статье «Метод Монте-Карло в Excel».
В МоделРиск есть готовые функции:
=VosePERT(380;400;470)— PERT-распределение;=VoseModPERT(380;400;470;2)— модифицированный PERT: параметр γ = 2 делает распределение более пологим (P90 — 440,3 вместо 430,6), γ больше 4 — более острым;=VoseTriangle(380;400;470)— треугольное распределение;=VosePERTAlt(…)— PERT-распределение, заданное не минимумом и максимумом, а процентилями, например P10 и P90. Это удобно, потому что эксперту легче назвать «значение, ниже которого с вероятностью 10 %», чем абсолютный минимум.
Что выбрать
| Ситуация | Распределение |
|---|---|
| Эксперт дал минимум, наиболее вероятное значение и максимум | PERT или модифицированный PERT |
| Эксперт уверен в наиболее вероятном значении слабо | Модифицированный PERT с γ меньше 4 |
| Эксперт назвал P10 и P90 вместо крайних значений | PERT, заданный процентилями (VosePERTAlt) |
| Известны только границы, внутри — без предпочтений | Равномерное |
| Есть данные наблюдений | Распределение, подобранное по данным — см. «Подбор распределения» |
Частые вопросы
Как рассчитать среднее PERT-распределения?
Среднее равно (минимум + 4 × наиболее вероятное + максимум) / 6. Для оценки 380–400–470 млн руб. это (380 + 1600 + 470) / 6 = 408,3 млн руб. У треугольного распределения среднее — (минимум + наиболее вероятное + максимум) / 3, то есть 416,7 млн руб.
Как задать PERT-распределение в Excel без надстроек?
Через бета-распределение: =БЕТА.ОБР(СЛЧИС(); α; β; мин; макс), где α = 1 + 4 × (вероятное − мин) / (макс − мин), β = 1 + 4 × (макс − вероятное) / (макс − мин). В английской версии Excel функция называется BETA.INV, а СЛЧИС — RAND.
Что такое модифицированное PERT-распределение?
Это PERT-распределение с дополнительным параметром γ (гамма), который управляет остротой пика. При γ = 4 получается обычный PERT, при меньших значениях распределение становится более пологим, при больших — более сосредоточенным вокруг наиболее вероятного значения.
Когда все-таки использовать треугольное распределение?
Когда минимум и максимум — это жесткие физические границы, а эксперт уверен, что значения у границ так же вероятны, как следует из треугольника. На практике это встречается редко; чаще треугольное распределение выбирают просто по привычке.
МоделРиск
МоделРиск — надстройка Excel для анализа рисков методом Монте-Карло. Пробная версия на 30 дней без ограничений.